這種感覺很奇妙。
龐學林從來沒有想過，原本用來解決數論問題的龐氏幾何，竟然還能與非線性偏微分方程聯系在一起。
突如其來的靈感突然發散出去，瞬間，各種奇思妙想開始在龐學林的腦海里涌現。
……
“在與曲面相關的偏微分方程組中，首先需要解決的，便是復結構的存在性問題！這一點，可以從一個經典的老問題入手！即：給定2n維實微分流形M上的一個近復結構J，什么時候這個近復結構是由復結構誘導出來的?”
……
“給定的近復結構J由某復結構誘導，當且僅當在每一點的某鄰域內都有局部實坐標{x^1，x^2，x^3……x^2n-1，x^2n}，使得J?xj=?x^j+n，J?x^j+n=-?x^j，因為如果存在這樣的局部坐標卡集，則復坐標卡集{x+ix^n+1，…，x^n+ix^2n}之間的轉換函數便適合Cauchy-Riemann方程組，從而是全純函數;逆命題則顯然成立。接下來，可以把問題歸結為尋找這樣的好坐標系，或求解一些一階線性微分方程組。”
……
“高維情形:Newnder-Nirenberg定理。近復結構M是(1，1)型張量場，故可以作用到余切叢上.在每一點p∈M處，復化切空間TpMc都可分解為相應于特征值±i的兩個子空間的直和。根據連續性，便可得到復化切叢的直和分解……”
……
“引理：設M是緊Riemann流形。考慮其上的微分方程δu=f(x，u)，f：M*R→R是光滑函數。如果存在u-，u+∈C^2(M)使得u-≤u+，δu-+f(x，u-)≥0，δu++f(x，u+)≤0，則存在解x∈C^∞(M)滿足u-≤u≤u+……”
……
時間一分一秒過去，一行行猶如天書一般的符號飛快在龐學林筆下流出，填滿一張又一張稿紙。
龐學林徜徉在數學的海洋里，一步步完善龐氏幾何的理論框架，充實其血肉上。
越是研究，龐學林越感覺到，自己所開創的龐氏幾何理論，背后隱含著的廣闊空間。
這就好比當年開創了群論的伽羅瓦，將代數研究提升到了一個全新的領域。
龐學林甚至隱隱意識到，當年格羅滕迪克老爺子為什么要研究遠阿貝爾幾何了。
龐氏幾何是在遠阿貝爾幾何的基礎上開創出來的，在龐氏幾何的基礎上，龐學林隱隱感覺到，代數與幾何正在相互融合。
從笛卡爾時代，通過坐標軸將代數與幾何有機結合起來，形成了解析幾何學，再到黎曼開創代數幾何學說，代數與幾何這兩門數學領域的重要支流，既有著極大的區別，彼此間又有著深刻的內在聯系。
然而，在各大學科枝丫分叉越來越細的時代，想要將代數與幾何這兩大命題統一起來，幾乎是一個不可能的任務。
但龐學林提出的這個龐氏幾何理論，卻讓代數與幾何隱隱有了匯流的趨勢，兩者之間真正有了溝通的橋梁。
或許當年格羅滕迪克老爺子也有類似的想法，只可惜老爺子走得早，只提出了遠阿貝爾幾何的一個理論框架。
如今，龐學林在遠阿貝爾幾何的基礎上提出的龐氏幾何，正在完成格羅滕迪克老爺子未盡的心愿。
這套理論不僅能解決數論領域的相關難題，甚至在非線性偏微分方程組領域，也有著重要的作用。
要知道，目前微分方程研究的主體便是非線性偏微分方程(NLPDE)。
很多意義重大的自然科學和工程技術問題都可歸結為非線性偏微分方程的研究。
現實生活的許多領域內數學模型都可以用NLPDE來描述，很多重要的物理、力學等學科的基本方程本身就是NLPDE。
另外，隨著研究的深入，有些原先可用線性微分方程近似處理的問題，也必須考慮非線性的影響，所以對NLPDE的研究，特別是NLPDE求解精確解的研究工作就顯示出了很重要的理論和應用價值。